Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，并滿足以下三個條件：
①對于一切實數(shù)x，都有f（x）＞0；
②對任意的x，y∈R，f（xy）=[f（x）]^y；  
③f（

1

3

）＞1；
（1）求f（0）的值，并判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（3^x）-f（9^x-3^x+1-2K）＞0對任意的x∈[0，1]恒成立，求實數(shù)K的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件f（xy）=[f（x）]^y；令x=

1

3

，y=0，可得f（0），利用賦值法求f（1），然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)性．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為3^x＞9^x-3^x+1-2K，然后利用指數(shù)不等式的性質(zhì)求K的取值范圍．

解答：解：（1）因為f（x）＞0，任意的x，y∈R，f（xy）=[f（x）]^y，所以令x=

1

3

，y=0，
則f（0）=[f（

1

3

）]⁰=1，即f（0）=1．
令x=

1

3

，y=3得f(1)=f(

1

3

×3)=[f(

1

3

)]3，因為f（

1

3

）＞1，所以f(1)=f(

1

3

×3)=[f(

1

3

)]3＞1．
令x=1，則f（xy）=f（y）=[f（1）]^y，
即f（x）=[f（1）]^x，為底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
（2）由f（3^x）-f（9^x-3^x+1-2K）＞0得f（3^x）＞f（9^x-3^x+1-2K），因為函數(shù)單調(diào)遞增，則3^x＞9^x-3^x+1-2K，
即2K＞9^x-3^x+1-3^x=9^x-4•3^x=（3^x-2）²-4，
因為x∈[0，1]，所以1≤3^x≤3，所以當3^x=2時，函數(shù)y=（3^x-2）²-4取得最小值-4，當3^x=1或3時，函數(shù)y=（3^x-2）²-4取得最大值-3，
所以2K＞-3，解得K＞-

3

2

，所以實數(shù)K的取值范圍是K＞-

3

2

．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用和性質(zhì)，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，綜合性較強，運算量較大．