Question

已知四點(diǎn)O（0，0），F(xiàn)（0，），M（0，1），N（0，2），點(diǎn)P（x，y）在拋物線x²=2y上。
 （Ⅰ）當(dāng)x₀=3時(shí)，延長PN交拋物線于另一點(diǎn)Q，求∠POQ的大�。�
 （Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀≠0）在拋物線x²=2y上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
�。┮訫P為直徑作圓，求該圓截直線y=所得的弦長；
ⅱ）過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)P作該拋物線的切線l交x軸于點(diǎn)B。問：是否總有∠FPB=∠BPA？如果有，請(qǐng)給予證明；如果沒有，請(qǐng)舉出反例。

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，，
直線PN：代入，
得，，
所以，，，
所以，。
(Ⅱ) �。┮訫P為直徑的圓的圓心為，
，
所以，圓的半徑，
圓心到直線的距離；
故截得的弦長。
ⅱ）總有∠FPB=∠BPA。
證明：，
所以切線l的方程為，即，
令y=0，得，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
點(diǎn)B到直線PA的距離為；
下面求直線PF的方程，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110608/20110608165600233986.gif" border=0>，所以直線PF的方程為，
整理，得，
所以點(diǎn)B到直線PF的距離為，
所以，，
所以，∠FPB=∠BPA。