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        1. 設動點M的坐標為(x,y)(x、y∈R),向量=(x-2,y),=(x+2,y),且|a|+|b|=8,
          (I)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)過點N(0,2)作直線l與曲線C交于A、B兩點,若(O為坐標原點),是否存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.
          【答案】分析:(I)把=(x-2,y),=(x+2,y)代入|a|+|b|=8,根據(jù)橢圓的定義即可求得動點M(x,y)的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)假設存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形,即OA⊥OB,設出直線l的方程,聯(lián)立直線和橢圓方程,利用韋達定理即可得出結論.
          解答:解:(I)因為|a|+|b|=8,所以
          所以動點M的軌跡是到定點F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)的距離之和為8的橢圓.
          則曲線C的方程是
          (Ⅱ)因為直線l過點N(0,2),若直線l的斜率不存在,則l的方程為x=0,與橢圓的兩個交點A、B為橢圓的頂點.
          ,則P與O重合,與OAPB為四邊形矛盾.
          若直線l的斜率存在,設方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
          得(4k2+3)x2+16kx-32=0.
          △=256k2+128(4k2+3)>0恒成立.
          由根與系數(shù)關系得:,
          因為,所以四邊形OAPB為平行四邊形.
          若存在直線l使四邊形OAPB為矩形,則,即
          所以x1x2+y1y2=0.
          所以(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0.

          化簡得:12k2+5=0.與斜率存在矛盾.
          則不存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形.
          點評:考查向量和解析幾何相結合,體現(xiàn)了向量的工具性,考查橢圓的定義和直線與橢圓的位置關系問題,屬難題.
          練習冊系列答案
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          設動點M的坐標為(x,y)(x、y∈R),向量
          a
          =(x-2,y),
          b
          =(x+2,y),且|a|+|b|=8,
          (I)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)過點N(0,2)作直線l與曲線C交于A、B兩點,若
          OP
          =
          OA
          +
          OB
          (O為坐標原點),是否存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2011•西山區(qū)模擬)如圖,點P是橢圓
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1上一動點,點H是點M在x軸上的射影,坐標平面xOy內動點M滿足:
          3
          HM
          =2
          HP
          (O為坐標原點),設動點M的軌跡為曲線C.
          (Ⅰ)求曲線C的方程;
          (Ⅱ)過右焦點F的直線l交曲線C于D,E兩點,且2
          DF
          =
          FE
          ,點E關于x軸的對稱點為G,求直線GD的方程.

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          科目:高中數(shù)學 來源:2007-2008學年北京市朝陽區(qū)高三(上)期末數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          設動點M的坐標為(x,y)(x、y∈R),向量=(x-2,y),=(x+2,y),且|a|+|b|=8,
          (I)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)過點N(0,2)作直線l與曲線C交于A、B兩點,若(O為坐標原點),是否存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          設動點M的坐標為(x,y)(x、y∈R),向量
          a
          =(x-2,y),
          b
          =(x+2,y),且|a|+|b|=8,
          (I)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)過點N(0,2)作直線l與曲線C交于A、B兩點,若
          OP
          =
          OA
          +
          OB
          (O為坐標原點),是否存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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