Question

（本小題滿分12分）

如圖3，在四棱錐P—ABCD中，底面為直角梯形，AD//BC，ÐBAD=90°，PA^底 面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2a，M，N分別為PC、PB的中點(diǎn).

（1）求證：MN//平面PAD；

（2）求證：PB^DM；

（3）求四棱錐P—ADMN的體積.

Answer 1

（本小題滿分12分）

證明：（1）因?yàn)?i>M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)，

所以MN//BC，且.    （1分）

又因?yàn)?i>AD//BC，所以MN//AD.       （2分）

又ADÌ平面PAD，MNË平面PAD，所以MN//平面PAD.         （4分）

（2）因?yàn)?i>AN為等腰DABP底邊PB上的中線，所以AN^PB.    （5分）

因?yàn)?i>PA^平面ABCD，ADÌ平面ABCD，所以AD^PA.

又因?yàn)?i>AD^AB，且ABÇAP=A，所以AD^平面PAB.

又PBÌ平面PAB，所以AD^PB.                              （6分）

因?yàn)?i>AN^PB，AD^PB，且ANÇAD=A，所以PB^平面ADMN.    （7分）

又DMÌ平面ADMN，所以PB^DM.                           （8分）

解：（3）由（1）和（2）可得四邊形ADMN為直角梯形，且ÐDAN=90°，

AD=2a，，，所以.       （9分）

由（2）PB^平面ADMN，得PN為四棱錐P—ADMN的高，且，（10分）

所以.                       （12分）