Question

（2013•延慶縣一模）以下是面點(diǎn)師一個(gè)工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型：如圖，在數(shù)軸上截取與閉區(qū)間[0，4]對(duì)應(yīng)的線段，對(duì)折后（坐標(biāo)4所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)重合）再均勻地拉成4個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，這一過(guò)程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來(lái)的坐標(biāo)1、3變成2，原來(lái)的坐標(biāo)2變成4，等等）．那么原閉區(qū)間[0，4]上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到與4重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為f（n），則f（3）=

1

2

，

3

2

，

5

2

，

7

2

；f（n）=

j

2n-2

（這里j為[1，2ⁿ]中的所有奇數(shù)）

．

Answer 1

分析：在第一次操作完成后，原來(lái)的坐標(biāo)1、3變成2，原來(lái)的坐標(biāo)2變成4；這種操作實(shí)際上就是不斷地把每條線段平分為兩部分，每一部分的中點(diǎn)在操作之后對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)都是2，末端與4重合，故可以歸納猜想出答案來(lái)．

解答：解：第一次操作后，原來(lái)的坐標(biāo)1、3 變成2；原來(lái)的坐標(biāo)2變成4；
第二次操作后，原來(lái)的坐標(biāo)1、3 變成4，而2對(duì)應(yīng)著第一次操作之前的0；
這種操作實(shí)際上就是不斷地把每條線段平分為兩部分，每一部分的中點(diǎn)在操作之后對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)都是2，第一次操作之后，與4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為2，只有1個(gè)；
第二次操作之后，與4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)取0與2的中點(diǎn)1，2與4的中點(diǎn)3，共2個(gè)；
第三次操作之后，與4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)取0與1的中點(diǎn)

1

2

，1與2的中點(diǎn)

3

2

，2與3的中點(diǎn)

5

2

，3與4的中點(diǎn)

7

2

，共4個(gè)，其坐標(biāo)分別為

1

2

，

3

2

，

5

2

，

7

2

；
依此類推，第n次操作之后，與4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為：

j

2n-2

，（其中j為[1，2ⁿ]中所有的奇數(shù)）．
故答案為：

1

2

，

3

2

，

5

2

，

7

2

； 

j

2n-2

（這里j為[1，2ⁿ]中的所有奇數(shù)）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用以及歸納總結(jié)、分析推理的數(shù)學(xué)能力；解題時(shí)需要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，以免出錯(cuò)．