Question

（本小題滿(mǎn)分13分）

如圖，直三棱柱中，AB＝2，

，

（Ⅰ）求直三棱柱側(cè)視圖的面積；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在線(xiàn)段A₁C上是否存在一點(diǎn)P，使PC₁與平面所成的角的正弦值為？如果存在，求出P點(diǎn)與C點(diǎn)的距離；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（本小題滿(mǎn)分13分）

解：（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，過(guò)B點(diǎn)作BO⊥AC，垂足為O。

△ABC中，由正弦定理得……………………2分

∴∠ABC=90°，則.

∴直三棱柱側(cè)視圖的面積為……………………4分

（Ⅱ）∵∠ABC=90°即

     ∵，    ……………………6分

又，

……………………8分

（Ⅲ）以O為原點(diǎn)，OB所在直線(xiàn)為x軸，OC所在直線(xiàn)為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，。

設(shè)，則  ………10分

設(shè)平面的法向量為

由  即，令得，∴

，或

則P點(diǎn)與C點(diǎn)的距離為或。             ……………………13分