Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x（x∈R），
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（2）是否存在實數(shù)t，使得不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對一切x都成立？若存在，求t，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)g（x）為增函數(shù)，h（x）為減函數(shù)，g（x）-h（x）是增函數(shù)，然后根據(jù)奇偶性的定義進行判定即可；
（2）假設(shè)存在∵f（x-t）+f（x²-t²）≥0恒成立，轉(zhuǎn)化成

(t+ 1 2 )2≤ (x+ 1 2 ) 2 min  =0

進行求解即可．

解答：解：（1）∵f(x)=ex-

1

ex

∴ f(x)單調(diào)遞增

又∵f(-x)=e-x-ex=-f(x)

∴f（x）是奇函數(shù)
（2）假設(shè)存在∵f（x-t）+f（x²-t²）≥0恒成立

∴  f(x-t)≥-f(x2-t2)=f(t2-x2)恒成立 ∴x-t≥t2-x2 ∴(t+ 1 2 )2≤ (x+ 1 2 ) 2 min =0∴  t=- 1 2

即存在t=-

1

2

使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0恒成立

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題．