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        1. 例4.設(shè)x,y∈R,求證:|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.
          分析:證明充要條件關(guān)鍵是證明其互相推出性,要根據(jù)|x+y|=|x|+|y|證明出xy≥0,也要在xy≥0下證明出|x+y|=|x|+|y|.
          解答:證明:充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0②x≠0,y=0③x=0,y=0于是|x+y|=|x|+|y|明顯成立.
          如果xy>0即x>0,y>0或x<0,y<0
          當(dāng)x>0,y>0時(shí),|x+y|=x+y=|x|+|y|,
          當(dāng)x<0,y<0時(shí),|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,
          總之,當(dāng)xy≥0時(shí),|x+y|=|x|+|y|.
          必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R
          得(x+y)2=(|x|+|y|)2即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2
          得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立,
          綜上,原命題成立.
          故結(jié)論成立.
          點(diǎn)評(píng):用好絕對(duì)值的定義是解決本題的關(guān)鍵.注意分類討論思想在解決該題中的運(yùn)用.
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