Question

已知數列{a_n}滿足如圖所示的程序框圖．
（Ⅰ）寫出當n=1，2，3時輸出的結果；
（Ⅱ）寫出數列{a_n}的一個遞推關系式，并證明：{a_n+1-3a_n}是等比數列；
（Ⅲ）求{a_n}的通項公式及前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I） 根據程序框圖分別計算出當n=1，2，3時輸出的結果；
（Ⅱ）由程序框圖可直接得到數列{an}的一個遞推關系式a₁=1，a₂=1，a _n+2=5a_n+1-6a_n，將a _n+2=5a_n+1-6a_n移向變形得出a_n+2-3a_n+1 =2（a _n+1-3a_n），從而可證{a_n+1-3a_n}是等比數列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求出a_n+1-3a_n=-2 ⁿ兩邊同除以3ⁿ⁺¹變形構造出

an+1

3n+1

-

an

3n

=-

1

3

× (

2

3

)n，然后利用累積法可求出數列的通項，再利用等比數列求和公式可求出前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由程序框圖可知，數列{an}的一個遞推關系式a₁=1，a₂=1，a _n+2=5a_n+1-6a_n
∴n=1時輸出a₃=5-6=-1，n=2時輸出a₄=5×（-1）-6=-11，n=3時輸出a₄=5×（-11）-6×（-1）=-49
（Ⅱ）數列{a_n}的一個遞推關系式，a₁=1，a₂=1，a _n+2=5a_n+1-6a_n；
則a_n+2-3a_n+1 =2（a _n+1-3a_n），且a₂-3a₁=-2
∴數列{a_n+1-3a_n}是以-2為首項，2為公比的等比數列
（III）由（II）有a_n+1-3a_n=-2 ⁿ
∴

an+1

3n+1

-

an

3n

=-

1

3

× (

2

3

)n
∴

an

3n

=

a1

3

+（

a2

32

-

a1

3

）+（

a3

33

-

a2

32

）+…+（

an

3n

-

an-1

3n-1

）（n≥2）
=

1

3

-

1

3

×

2

3

-

1

3

×(

2

3

)2-

1

3

×(

2

3

)n-1
=(

2

3

)n-

1

3

∴a_n=2ⁿ-3^n-1（n≥2）
當n=1時，也滿足上式，故a_n=2ⁿ-3^n-1
前n項和S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+3+3²+…+3^n-1）=2n+1-

3n

2

-

3

2

點評：本題主要考查了程序框圖知識，以及等差數列、等比數列的通項與求和，同時考查轉化、計算、分析解決問題的能力，屬于中檔題．