Question

【題目】已知拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，是拋物線上異于的兩動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)到直線的距離的最大值是______.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)題意設(shè)出,的坐標(biāo)和直線的方程,將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程,聯(lián)立直線與拋物線,結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,由韋達(dá)定理即可求得直線的方程中的等量關(guān)系式.進(jìn)而求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)與直線的關(guān)系,即可知當(dāng)與直線垂直時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大,由兩點(diǎn)間距離公式即可求解.

拋物線,,是拋物線上異于的兩動(dòng)點(diǎn)

設(shè)

設(shè)直線的方程為

則化簡可得

所以,

因?yàn)?/span>

則

因?yàn)?/span>

所以

化簡可得

所以或

展開化簡可得或

代入可得

或

即或

因?yàn)?/span>恒成立

當(dāng)時(shí),代入可得,當(dāng)時(shí)不恒成立,所以舍去

當(dāng)時(shí),代入可得恒成立

所以

則直線的方程為

即

所以直線過定點(diǎn)

當(dāng)與直線垂直時(shí),點(diǎn)M到直線的距離最大,且最大距離為

故答案為: