Question

如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，過點(diǎn)F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F₁B|+|F₂B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)滿足條件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數(shù)列.

(1)求該橢圓的方程；

(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

Answer 1

解: (1)由橢圓定義及條件知，2a=|F₁B|+|F₂B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3  故橢圓方程為=1.

(2)由點(diǎn)B(4,y_B)在橢圓上，得|F₂B|=|y_B|=.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F₂A|=(－x₁),|F₂C|=(－x₂)，由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數(shù)列，得  (－x₁)+(－x₂)=2×,由此得出：x₁+x₂=8.   設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x₀,y₀),則x₀==4.

(3)解析法一：由A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)在橢圓上.

① ②

得                            ,  ①－②得9(x₁²－x₂²)+25(y₁²－y₂²)=0,

即9×=0(x₁≠x₂)

 將 (k≠0)

代入上式，得9×4+25y₀(－)=0(k≠0)  即k=y₀(當(dāng)k=0時(shí)也成立).

由點(diǎn)P(4，y₀)在弦AC的垂直平分線上，得y₀=4k+m,所以m=y₀－4k=y₀－y₀=－y₀.

由點(diǎn)P(4，y₀)在線段BB′(B′與B關(guān)于x軸對(duì)稱)的內(nèi)部，得－＜y₀＜,所以－＜m＜.

解析法二：因?yàn)橄?i>AC的中點(diǎn)為P(4,y₀)，所以直線AC的方程為y－y₀=－(x－4)(k≠0)   ③  ,

   將③代入橢圓方程=1,得(9k²+25)x²－50(ky₀+4)x+25(ky₀+4)²－25×9k²=0

所以x₁+x₂==8,解析得k=y₀.(當(dāng)k=0時(shí)也成立)

(以下同解析法一).