Question

已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－x₁

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)記f(x)在區(qū)間[0，π](n∈N*)上的最小值為b_x令a_n＝ln(1＋n)－b_x．

(Ⅲ)如果對(duì)一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

(Ⅳ)求證：

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)因?yàn)?I>f(x)＝ln(1＋x)－x，所以函數(shù)定義域?yàn)?－1，＋)，且f〃(x)＝－1＝． 　　由＞0得－1＜x＜0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，0)； 　　由＜0得x＞0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋)． 　　(Ⅱ)因?yàn)?I>f(x)在[0，n]上是減函數(shù)，所以bn＝f(n)＝ln(1＋n)－n， 　　則an＝ln(1＋n)－bn＝ln(1＋n)－ln(1＋n)＋n＝n． 　　(i)＞ 　　又lim， 　　因此c＜1，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是(－，1)． 　　(Ⅱ)由(i)知 　　因?yàn)閇]2 　　 　　所以＜(nN*)， 　　則＜ 　　 　　N*) 　　解法二： 　　(Ⅰ)同解法一． 　　(Ⅱ)因?yàn)?I>f(x)在上是減函數(shù)，所以 　　則 　　(ⅰ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1263/0022/e6626d1f841b1c1654772b61eb6a2462/C/Image168.gif" width=140 HEIGHT=48>對(duì)n∈N*恒成立．所以對(duì)n∈N*恒成立． 　　則對(duì)n∈N*恒成立． 　　設(shè)n∈N*，則c＜g(n)對(duì)n∈N*恒成立． 　　考慮 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1263/0022/e6626d1f841b1c1654772b61eb6a2462/C/Image173.gif" width=370 height=48>＝0， 　　所以內(nèi)是減函數(shù)；則當(dāng)n∈N*時(shí)，g(n)隨n的增大而減小， 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1263/0022/e6626d1f841b1c1654772b61eb6a2462/C/Image175.gif" width=482 height=84>＝1． 　　所以對(duì)一切因此c≤1，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是(－∞，1]． 　　(ⅱ)由(ⅰ)知 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 　�、佼�(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝，右邊＝，左邊＜右邊．不等式成立． 　�、诩僭O(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立．即 　　當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 　　 　�。� 　　即n＝k＋1時(shí)，不等式成立 　　綜合①、②得，不等式成立． 　　所以 　　 　　即． 　　本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式、數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滿分14分．