Question

【題目】已知函數(shù)且函數(shù)圖象上點處的切線斜率為.

（1）試用含有的式子表示，并討論的單調(diào)性；

（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點如果在函數(shù)圖象上存在點使得點處的切線，則稱存在“跟隨切線”.特別地，當時，又稱存在“中值跟隨切線”.試問：函數(shù)上是否存在兩點使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）不存在

【解析】試題分析：（1）函數(shù)的定義域為，且，又，整理得. .

然后根據(jù)a的不同取值情況逐一討論分析（2）假設滿足條件的存在，不妨設且，則，又由題有： ，整理可得： ，令，構造函數(shù)，則，則時， 恒成立，故在上單調(diào)遞增從而得出不存在

試題解析：

函數(shù)的定義域為，且，又，整理得.

（1）.

1）當時，易知， 時，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

2）當地，令，解得或，則

①當，即時， 在上恒成立，則在上遞增.

②當，即時，當時， ；

當時， .

所以： 在及上單調(diào)遞增： 在上遞減.

③當，即時，當時， ；

當時， .

所以： 在及上單調(diào)遞增： 在上遞減.

綜上：當時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當時， 在及上單調(diào)遞增： 在上單調(diào)遞減.

當時， 在上遞增.

當時， 在及上單調(diào)遞增； 在上遞減.

（2）滿足條件的不存在，理由如下:

假設滿足條件的存在，不妨設且，則

，又

，又由題有： ，整理可得：

，令，

構造函數(shù)，則，則時，

恒成立，故在上單調(diào)遞增；所以時， ，所

以不可能成立，綜上滿足條件的不存在.