Question

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，+∞）時，f(x)=

x

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）運用函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）在定義域R上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）在定義域R上是增函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)x∈（-∞，0），
則-x∈（0，+∞），
∵當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）=

x

∴f（-x）=

-x

，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=

-x

=-f（x），
∴f（x）=-

-x

，x∈（-∞，0），
∴f（x）=

x ，x≥0 - -x ，x＜0

．
（Ⅱ）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴只需要證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增即可，
設(shè)x₂＞x₁≥0，
則f(x2)-f(x1)=

x2

-

x1

=

x2-x1

x2 + x1

，
∵x₂＞x₁≥0，
∴x₂-x₁＞0，

x2

+

x1

＞0，
即f(x2)-f(x1)=

x2

-

x1

=

x2-x1

x2 + x1

＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），即函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在定義域R上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，要求熟練掌握相關(guān)的定義．