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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,拋物線C1:y2=8x與雙曲線C2
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          有公共焦點(diǎn)F2,點(diǎn)A是曲線C1,C2在第一象限的交點(diǎn),且|AF2|=5.
          (Ⅰ)求雙曲線C2的方程;
          (Ⅱ)以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切,圓N:(x-2)2+y2=1.平面上有點(diǎn)P滿足:存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l1,l2,它們分別與圓M,N相交,且直線l1被圓M截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓N截得的弦長(zhǎng)的比為
          3
          :1
          ,試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
          分析:(Ⅰ)由題意知雙曲線C2的焦點(diǎn)為F1(-2,0)、F2(2,0),設(shè)A(x0,y0)在拋物線C1:y2=8x上,且|AF2|=5,由拋物線的定義得,x0+2=5,x0=3,y0=±2
          6
          |AF1|=
          (3+2)2+(±2
          6
          )
          2
          =7
          ,由此可知雙曲線的方程.
          (Ⅱ)設(shè)圓M的方程為:(x+2)2+y2=r2,雙曲線的漸近線方程為:y=±
          3
          x
          ,故圓M:(x+2)2+y2=3.由此入手可推導(dǎo)出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
          解答:解:(Ⅰ)∵拋物線C1:y2=8x的焦點(diǎn)為F2(2,0),
          ∴雙曲線C2的焦點(diǎn)為F1(-2,0)、F2(2,0),(1分)
          設(shè)A(x0,y0)在拋物線C1:y2=8x上,且|AF2|=5,
          由拋物線的定義得,x0+2=5,∴x0=3,(2分)
          ∴y02=8×3,∴y0=±2
          6
          ,(3分)
          |AF1|=
          (3+2)2+(±2
          6
          )
          2
          =7
          ,(4分)
          又∵點(diǎn)A在雙曲線上,
          由雙曲線定義得,2a=|7-5|=2,∴a=1,(5分)
          ∴雙曲線的方程為:x2-
          y2
          3
          =1
          .(6分)
          (Ⅱ)設(shè)圓M的方程為:(x+2)2+y2=r2,
          雙曲線的漸近線方程為:y=±
          3
          x
          ,
          ∵圓M與漸近線y=±
          3
          x
          相切,∴
          圓M的半徑為d=
          2
          3
          2
          =
          3
          ,(7分)
          故圓M:(x+2)2+y2=3,(8分)
          設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則l1的方程為y-y0=k(x-x0),
          即kx-y-kx0+y0=0,l2的方程為y-y0=-
          1
          k
          (x-x0)
          ,
          即x+ky-x0-ky0=0,
          ∴點(diǎn)M到直線l1的距離為d1=
          |2k+kx0-y0|
          1+k2
          ,
          點(diǎn)N到直線l2的距離為d2=
          |x0+ky0-2|
          1+k2

          ∴直線l1被圓M截得的弦長(zhǎng)s=2
          3-(
          2k+kx0-y0
          1+k2
          )
          2
          ,
          直線l2被圓N截得的弦長(zhǎng)t=2
          1-(
          x0+ky0-2
          1+k2
          )
          2
          ,(11分)
          由題意可得,
          s
          t
          =
          3-
          (2k+kx0-y0)2
          1+k2
          1-
          (x0+ky0-2)2
          1+k2
          =
          3

          即3(x0+ky0-2)2=(2k+kx0-y02,
          3
          x0+
          3k
          y0-2
          3
          =2k+kx0-y0

          3
          x0+
          3k
          y0-2
          3
          =-2k-kx0+y0
          ②(12分)
          由①得:(x0-
          3
          y0+2)k-(
          3
          x0+y0-2
          3
          )=0
          ,
          ∵該方程有無窮多組解,
          x0-
          3
          y0+2=0
          3
          x0+y0-2
          3
          =0
          ,解得
          x0=1
          y0=
          3
          ,
          點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,
          3
          )
          .(13分)
          由②得:(x0+
          3
          y0+2)k+(
          3
          x0-y0-2
          3
          )=0
          ,
          ∵該方程有無窮多組解,
          x0+
          3
          y0+2=0
          3
          x0-y0-2
          3
          =0
          ,解得
          x0=1
          y0=-
          3
          ,
          點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-
          3
          )

          ∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,
          3
          )
          (1,-
          3
          )
          .(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意公式的靈活運(yùn)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,拋物線C1:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,橢圓C2
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0)的離心率e=
          3
          2
          ,C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為P(
          3
          ,
          1
          2

          (1)求拋物線C1及橢圓C2的方程;
          (2)已知直線l:y=kx+t(k≠0,t>0)與橢圓C2交于不同兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)M滿足
          AM
          +
          BM
          =
          0
          ,直線FM的斜率為k1,試證明k•k1
          -1
          4

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•河北模擬)如圖,拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A為C1上的點(diǎn),以F為圓心,
          p
          2
          為半徑的圓與線段AF的交點(diǎn)為B,∠AFx=60°,A在y軸上的射影為N,則∠ONB=( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省模擬題 題型:解答題

          如圖,拋物線C1:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,橢圓C2的離心率,C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為,
          (Ⅰ)求拋物線C1及橢圓C2的方程;
          (Ⅱ)已知直線l:y=kx+t(k≠0,t>0)與橢圓C2交于不同兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)M滿足,直線FM的斜率為k1,試證明。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年遼寧省高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

          如圖,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0),點(diǎn)M(x,y)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O),當(dāng)x=1-時(shí),切線MA的斜率為-
          (I)求P的值;
          (II)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A,B重合于O時(shí),中點(diǎn)為O).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年遼寧省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          如圖,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0),點(diǎn)M(x,y)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O),當(dāng)x=1-時(shí),切線MA的斜率為-
          (I)求P的值;
          (II)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A,B重合于O時(shí),中點(diǎn)為O).

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