Question

如圖所示，一動圓與圓x²+y²+6x+5=0外切，同時與圓x²+y²-6x-91=0內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線．

Answer 1

分析：利用兩圓的位置關(guān)系一相切這一性質(zhì)得到動圓圓心與已知兩圓圓心間的關(guān)系，再從關(guān)系分析滿足何種關(guān)系的定義．

解答：解：（方法一）設(shè)動圓圓心為M（x，y），半徑為R，設(shè)已知圓的加以分別為O₁、O₂，
將圓的方程分別配方得：（x+3）²+y²=4，（x-3）²+y²=100，
當動圓與圓O₁相外切時，有|O₁M|=R+2…①
當動圓與圓O₂相內(nèi)切時，有|O₂M|=10-R…②
將①②兩式相加，得|O₁M|+|O₂M|=12＞|O₁O₂|，
∴動圓圓心M（x，y）到點O₁（-3，0）和O₂（3，0）的距離和是常數(shù)12，
所以點M的軌跡是焦點為點O₁（-3，0）、O₂（3，0），長軸長等于12的橢圓．
∴2c=6，2a=12，
∴c=3，a=6
∴b²=36-9=27
∴圓心軌跡方程為

x2

36

+

y2

27

=1，軌跡為橢圓．
（方法二）：由方法一可得方程

(x+3)2+y2

+

(x-3)2+y2

=12，移項再兩邊分別平方得：2

(x+3)2+y2

=12+x
兩邊再平方得：3x²+4y²-108=0，整理得

x2

36

+

y2

27

=1
所以圓心軌跡方程為

x2

36

+

y2

27

=1，軌跡為橢圓．

點評：本題以兩圓的位置關(guān)系為載體，考查橢圓的定義，考查軌跡方程，確定軌跡是橢圓是關(guān)鍵．