Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}對任意正整數(shù)n，都有a_n+2=6a_n+1-9a_n，b_n+1-b_n=a_n，且a₁=9，a₂=45，b₁=1
（1）求證：存在實數(shù)λ，使數(shù)列{

an

λn

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）數(shù)列{

an

λn

}是等差數(shù)列，通過

an+2

λn+2

+

an

λn

=

2an+1

λn+1

，利用待定系數(shù)法，解方程求出λ值即可．
（2）利用b_n+1-b_n=a_n，以及{

an

λn

}是等差數(shù)列，求出a_n，通過錯位相減法求出數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）證明：欲使{

an

λn

}為等差數(shù)列，只需

an+2

λn+2

+

an

λn

=

2an+1

λn+1

即a_n+1=2λa_n+1-λ²a_n，因為a_n+2=6a_n+1-9a_n，令

2λ=6 λ2=9

得λ=3，
∴存在實數(shù)λ=3，使{

an

λn

}是等差數(shù)列…（6分）
（2）b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=b₁+a₁+a₂+…+a_n-1
∵{

an

3n

}是等差數(shù)列，

a1

3

=3，

a2

32

=5
∴

an

3n

=3+(n-1)(5-3)=2n+1
∴a_n=（2n+1）•3ⁿ
∴b_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-13b_n=1×3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ
∴-2b_n=1+2（3×3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=-2（n-1）•3ⁿ-2
故b_n=（n-1）•3ⁿ+1…（12分）

點評：本題是中檔題，考查數(shù)列的證明，數(shù)列通項公式的求法，錯位相減法應(yīng)用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項乘積的數(shù)列求和的常用方法，考查計算能力．