Question

如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b，且交拋物線y²=2px（p＞0）于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)）．
（1）證明：

1

y1

+

1

y2

=

1

b

；
（2）當(dāng)a=2p時，求證：OM⊥ON．

Answer 1

分析：（1）寫出直線的截距式方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x可得y的二次方程，把等式左側(cè)同分后將韋達(dá)定理代入即可證明；
（2）設(shè)直線OM、ON的斜率分別為k₁、k₂，則k₁=

y1

x1

，k₂=

y2

x2

．代入韋達(dá)定理可證明k₁k₂=-1，從而證明結(jié)論；

解答：證明：（1）直線的截距式方程為

x

a

+

y

b

=1與y²=2px聯(lián)立消去x可得by²+2pay-2pab=0．①
點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)y₁、y₂為①的兩個根，故y₁+y₂=-

2pa

b

，y₁y₂=-2pa．
所以

1

y1

+

1

y2

=

y1+y2

y1y2

=

-2pa b

-2pa

=

1

b

．
（2）設(shè)直線OM、ON的斜率分別為k₁、k₂，
則k₁=

y1

x1

，k₂=

y2

x2

．
當(dāng)a=2p時，由（2）知，y₁y₂=-2pa=-4p²，
由y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，相乘得（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，
x₁x₂=

(y1y2)2

4p2

=

(4p2)2

4p2

=4p²，
因此k₁k₂=

y1y2

x1x2

=

-4p2

4p2

=-1．
所以O(shè)M⊥ON．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要根據(jù)實(shí)際情況，注意培養(yǎng)計(jì)算能力，把握公式的靈活運(yùn)用，仔細(xì)審題，謹(jǐn)慎作答，避免不必要的錯誤．