Question

如圖，已知圓O的直徑AB＝4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L垂直于直線AB.點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L于M、N點.

(1)若∠PAB＝30°，求以MN為直徑的圓的方程；

(2)當(dāng)點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過AB上一定點.

Answer 1

建立如圖所示的直角坐標系，⊙O的方程為x²＋y²＝4，

直線L的方程為x＝4.

(1)當(dāng)點P在x軸上方時，

∵∠PAB＝30°，

∴點P的坐標為(1，)，

∴l_AP：y＝(x＋2)，

l_BP：y＝－(x－2).

將x＝4代入，得M(4,2)，N(4，－2).

∴MN的中點坐標為(4,0)，MN＝4.

∴以MN為直徑的圓的方程為(x－4)²＋y²＝12.

同理，當(dāng)點P在x軸下方時，所求圓的方程仍是(x－4)²＋y²＝12.

(2)設(shè)點P的坐標為(x₀，y₀)，∴x＋y＝4(y₀≠0)，

∴y＝4－x.

∵l_PA：y＝(x＋2)，l_PB：y＝(x－2)，

將x＝4代入，得y_M＝，

y_N＝，∴M(4，)，N(4，)，

MN＝|－|＝.

MN的中點坐標為(4，－).

以MN為直徑的圓O′截x軸的線段長度為

2＝

＝＝|y₀|＝4，為定值.

∴⊙O′必過AB上一定點(4－2，0).