Question

【題目】已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為F1， F2，直線l1過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M.

(1)求點(diǎn)M的軌跡的方程；

（2）設(shè)與x軸交于點(diǎn)Q， 上不同于點(diǎn)Q的兩點(diǎn)R、S，且滿足，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

（1）由題意結(jié)合拋物線的定義可知動點(diǎn)M的軌跡是以l1為準(zhǔn)線，F2為焦點(diǎn)的拋物線，軌跡方程為.

（2）由題意可得，設(shè)，由向量垂直的充要條件可得，則，由距離公式可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍是.

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>，

所以動點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)的距離，

所以動點(diǎn)M的軌跡是以l1為準(zhǔn)線，F2為焦點(diǎn)的拋物線，

所以M的軌跡的方程為.

（2），設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，

，解得，

故，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

，

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)，即時，取最小值，

故的取值范圍是.