Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a2-c2=

3

ab-b2，S_△ABC=2．
（1）求

CA

•

CB

的值；
（2）設(shè)函數(shù)y=sin(ωx+φ)，(其中φ∈[0，

π

2

]，ω＞0)，最小正周期為π，當x等于角C時函數(shù)取到最大值，求使該函數(shù)取最小值時的x的集合．

Answer 1

分析：（1）由a2-c2=

3

ab-b2得出

a2+b2-c2

ab

=

3

，根據(jù)余弦定理及特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，再根據(jù)面積公式

1

2

absinC和已知面積等于2求出ab的值，然后根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則表示出

CA

•

CB

，把ab代入即可求出；
（2）由正弦函數(shù)的周期為π根據(jù)周期公式T=

2π

λ

，求出ω=2，再根據(jù)正弦函數(shù)求最值的方法得到2x+φ=

π

2

+2kπ，把x=

π

6

代入即可求出φ的范圍，因為φ為銳角確定出φ的度數(shù)，所以將φ的度數(shù)代入得：當2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ時取最小值，解出x即可．

解答：解：（1）根據(jù)余弦定理可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

6

∵S_△ABC=2，∴

1

2

absin300=2，∴ab=8
∴

CA

•

CB

=abcos300=8×

3

2

=4

3

；

（2）函數(shù)當x=

π

6

時取最大值，當且僅當2x+φ=

π

2

+2kπ，即

π

3

+φ=

π

2

+2kπ
此時φ=

π

6

+2kπ．
又∵φ∈[0，

π

2

]，∴φ=

π

6

．
∴當2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ時取最小值．
即x=-

π

3

+kπ．

點評：考查學生靈活運用余弦定理及三角形的面積公式，會進行平面向量的數(shù)量積運算，會根據(jù)條件求正弦函數(shù)的最小值，會求正弦函數(shù)的周期，牢記特殊角的三角函數(shù)值．