Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．

(Ⅰ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖像在點處的切線的傾斜角為，問：在什么范圍取值時，對于任意的，函數(shù)g(x)=x³ + x²在區(qū)間上總存在極值？

（Ⅲ）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上至少存在一個，

使得成立，試求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.

（Ⅱ）當(dāng)在內(nèi)取值時，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值.

（Ⅲ）

【解析】

試題分析：(I)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大（�。┯诹�，求得函數(shù)f(x)的增（減）區(qū)間，要注意含參時對參數(shù)進行討論.

（II）根據(jù)可得，從而可求出,進而得到,那么本小題就轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間內(nèi),然后結(jié)合二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)求解即可.

(III)當(dāng)a=2時，令，則

.

然后對p分和兩種情況利用導(dǎo)數(shù)進行求解即可.

（Ⅰ）由知

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.

（Ⅱ）由,    ∴，.    

故，

∴．

∵ 函數(shù)在區(qū)間上總存在極值，

∴有兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間內(nèi)

又∵函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且，

∴ 由，

  ∵在上單調(diào)遞減，所以； 

∴，由，解得；

綜上得： 

所以當(dāng)在內(nèi)取值時，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值.

（Ⅲ）令，則

.

①當(dāng)時，由得，從而,

所以，在上不存在使得；

②當(dāng)時，,，

在上恒成立，

故在上單調(diào)遞增.

 

故只要，解得

綜上所述， 的取值范圍是

考點：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間極值最值當(dāng)中的應(yīng)用.

點評：利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間時，要注意含參時要進行討論，并且對于與不等式結(jié)合的綜合性比較強的題目，要注意解決不等式問題時，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性極值最值研究.