Question

（1）定理：若函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．應(yīng)用上述定理證明：
①1-；
②．
（2）設(shè)f（x）=xⁿ（n∈N^*）．若對任意的實數(shù)x，y，f（x）-f（y）=f′（）（x-y）恒成立，求n所有可能的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①構(gòu)造出函數(shù)f（x）=lnx，f′（ξ）=，x＜ξ＜y，依題意lny-lnx=，又＜＜，從而可證1-＜lny-lnx＜-1（0＜x＜y）；②由①知，得＜ln2-ln1＜，＜ln3-ln2＜，…，＜lnn-ln（n-1）＜，累加即可證得結(jié)論；
（2）易證當n=1與n=2時等式f（x）-f（y）=f′（）（x-y）成立，通過反例x=2，y=0，可證得當n≥3時，等式f（x）-f（y）=f′（）（x-y）不恒成立，從而可知n的所有可能值．
解答：證明：①f（x）=lnx，f′（ξ）=，x＜ξ＜y               …（1分）
（注1：只要構(gòu)造出函數(shù)f（x）=lnx即給1分）
故lny-lnx=，又＜＜…（*）    …（2分）
即1-＜lny-lnx＜-1（0＜x＜y）  …（3分）
②證明：由（*）式可得＜ln2-ln1＜，
＜ln3-ln2＜，
…
＜lnn-ln（n-1）＜，…（6分）
上述不等式相加，得＜lnn＜（n＞1）…（8分）
（注：能給出疊加式中的任何一個即給（1分），能給出一般式＜lnn-ln（n-1）＜，給出2分）
（2）下證當n≥3時，等式f（x）-f（y）=f′（）（x-y）不恒成立．
（注：能猜出n≥3時等式不恒成立即給1分）
當n=1時，f（x）-f（y）=f′（）（x-y）顯然成立．…（9分）
當n=2時，f（x）-f（y）=x²-y²=2（）（x-y）=f′（）（x-y）．…（10分）
下證當n≥3時，等式f（x）-f（y）=f′（）（x-y）不恒成立．
不妨設(shè)x=2，y=0，則已知條件化為：2^n-1=n．                         …（11分）
當n≥3時，2^n-1=（1+1）^n-1=++…+≥2+=n+1＞n，…（13分）
因此，n≥3時方程2^n-1=n無解．
故n的所有可能值為1和2．…（14分）
點評：本題考查思想歸納法，著重考查構(gòu)造函數(shù)與推理證明的能力，考查累加法與反證法的綜合應(yīng)用，屬于難題．