【題目】已知函數(shù)
，
.
(Ⅰ)當(dāng)
時，求證：過點
有三條直線與曲線
相切；
(Ⅱ)當(dāng)
時，
，求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)
.
【解析】試題分析：
(1)
，設(shè)直線與曲線
相切，其切點為
，求出切線方程，且切線過點
，可得
，判斷方程有三個不的根，則結(jié)論易得；
(2) 易得當(dāng)
時，
，設(shè)
，則
，設(shè)
，則
，分
、
兩種情況討論函數(shù)
的單調(diào)性并求出最小值，即可得出結(jié)論；
法二：
(1)同法一得，設(shè)
，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，即可得出結(jié)論；
(2)同法一.
試題解析：
解法一：(Ⅰ)當(dāng)
時，
，
設(shè)直線與曲線相切，其切點為，
則曲線在點處的切線方程為：
，
因為切線過點，所以
，
即
，
，
，
設(shè)，
,
,
,
在三個區(qū)間
,
,
上至少各有一個根
又因為一元三次方程至多有三個根，所以方程
恰有三個根，
故過點有三條直線與曲線相切.
(Ⅱ)
當(dāng)時，
，即當(dāng)時，
當(dāng)時，，
設(shè)，則
，
設(shè)，則.
(1)當(dāng)時，
，從而
(當(dāng)且僅當(dāng)
時，等號成立)
在
上單調(diào)遞增，
又
當(dāng)時，
，從而當(dāng)時，
，
在上單調(diào)遞減，又
，
從而當(dāng)時，
，即
于是當(dāng)時，，
(2)當(dāng)時，令
，得
故當(dāng)
時,
,
在
上單調(diào)遞減，
又當(dāng)時，
，
從而當(dāng)時，
，
在上單調(diào)遞增，又，
從而當(dāng)
時，
，即
于是當(dāng)時，
，
綜合得
的取值范圍為.
解法二：(Ⅰ)當(dāng)時，，
，
設(shè)直線與曲線相切，其切點為，
則曲線在點處的切線方程為，
因為切線過點，所以，
即，
，
設(shè)，則
，令
得
當(dāng)
變化時，
變化情況如下表：
恰有三個根，
故過點
有三條直線與曲線相切.
(Ⅱ)同解法一.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均為正的常數(shù)）的最小正周期為π，當(dāng)x= 
時，函數(shù)f（x）取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.f（2）＜f（﹣2）＜f（0）
B.f（0）＜f（2）＜f（﹣2）
C.f（﹣2）＜f（0）＜f（2）
D.f（2）＜f（0）＜f（﹣2）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且an是Sn與2的等差中項，數(shù)列{bn}中，b1=1，點P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上．
（1）求a1和a2的值；
（2）求數(shù)列{an}，{bn}的通項an和bn；
（3）設(shè)cn=anbn ， 求數(shù)列{cn}的前n項和Tn ．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c= 
，△ABC的面積為 
，求△ABC的周長．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在“一帶一路”的建設(shè)中，中石化集團獲得了某地深海油田區(qū)塊的開采權(quán)，集團在該地區(qū)隨機初步勘探了幾口井，取得了地質(zhì)資料.進(jìn)入全面勘探時期后，集團按網(wǎng)絡(luò)點來布置井位進(jìn)行全面勘探.由于勘探一口井的費用很高，如果新設(shè)計的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質(zhì)資料，不必打這口新井，以節(jié)約勘探費用.勘探初期數(shù)據(jù)資料下表：
(1)在散點圖中
號舊井位置大致分布在一條直線附近，借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸線方程為
，求
，并估計
的預(yù)報值；
(2)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井
，若通過1、3、5、7號井計算出的
的值(精確到0.01)相比于(1)中
的值之差(即：
)不超過10%，則使用位置最接近的已有舊井
，否則在新位置打井，請判斷可否使用舊井？(參考公式和計算結(jié)果：
,
)
(3)設(shè)出油量與鉆探深度的比值
不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井，在原有井號
的井中任意勘探3口井，求恰好2口是優(yōu)質(zhì)井的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】給出定義：若m﹣ 
＜x≤m+ （其中m為整數(shù)），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m，設(shè)函數(shù)f（x）=x﹣{x}，二次函數(shù)g（x）=ax2+bx，若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有且只有一個公共點，則a，b的取值不可能是（ ）
A.a=﹣4，b=1
B.a=﹣2，b=﹣1
C.a=4，b=﹣1
D.a=5，b=1
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為DD1的中點，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)等比數(shù)列{an}的前項n和Sn ， a2= 
，且S1+ 
，S2 ， S3成等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=2n．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)cn=anbn ， 若對任意n∈N+ ， 不等式c1+c2+…+cn≥ 
λ+2Sn﹣1恒成立，求λ的取值范圍．
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