Question

已知定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），如果對(duì)任意x∈D，存在正數(shù)k，都有f（x）≤k|x|成立，那么稱函數(shù)f（x）是D上的“倍約束函數(shù)”，已知下列函數(shù)：
①f（x）=2x；
②f(x)=2sin(x+

π

4

)；
③f(x)=

x-1

；
④f（x）=

x

x2-x+1

．
其中是“倍約束函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①f（x）=2x≤2|x|；
②不存在正數(shù)k，f(x)=2sin(x+

π

4

)≤k|x|成立；
③

f(x)

|x|

=

1 x - 1 x2

=

-( 1 x - 1 2 )2+ 1 4

≤

1

2

，所以f（x）≤

1

2

|x|成立；
④x≠0時(shí)，f（x）≤

4

3

x≤

4

3

|x|；x=0時(shí)，也成立．

解答：解：①∵f（x）=2x≤2|x|，∴函數(shù)f（x）是定義域上的“倍約束函數(shù)”；
②不存在正數(shù)k，f(x)=2sin(x+

π

4

)≤k|x|成立，∴函數(shù)f（x）不是定義域上的“倍約束函數(shù)”；
③∵x≥1，∴

f(x)

|x|

=

1 x - 1 x2

=

-( 1 x - 1 2 )2+ 1 4

≤

1

2

，∴f（x）≤

1

2

|x|成立，∴函數(shù)f（x）是定義域上的“倍約束函數(shù)”；
④x≠0時(shí)，

f(x)

x

=

1

x2-x+1

=

1

(x- 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

，∴f（x）≤

4

3

x≤

4

3

|x|；x=0時(shí)，也成立，∴函數(shù)f（x）是定義域上的“倍約束函數(shù)”；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．