Question

如圖，設(shè)F(－c,0)是橢圓的左焦點，直線l：x＝－與x軸交于P點，MN為橢圓的長軸，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過點P的直線m與橢圓相交于不同的兩點A,B。

①證明：∠AFM＝∠BFN；

②求△ABF面積的最大值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）①詳見解析；②．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，只需利用待定系數(shù)法來求，由，知，由，得，將代入，可求出的值，從而得的值，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）①證明：，只需證明即可，這是直線與二次曲線位置關(guān)系問題，可采用設(shè)而不求的方法，因此當(dāng)的斜率為0時，，滿足題意．當(dāng)的斜率不為０時，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得，設(shè)出，有根與系數(shù)關(guān)系，及斜率公式可得，從而得到．故恒有；②求△ABF面積的最大值，由圖可知，由基本不等式，能求出三角形ABF面積的最大值．

試題解析：（Ⅰ）∵|MN|＝8, ∴a＝4，                                  (1分)

又∵|PM|＝2|MF|，∴e＝，                      (2分)

∴c＝2,b²＝a²－c²＝12，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                    (3分)

（Ⅱ）①證明：

當(dāng)AB的斜率為0時，顯然∠AFM＝∠BFN＝0，滿足題意；    (4分)

當(dāng)AB的斜率不為0時，設(shè)AB的方程為x＝my－8，

代入橢圓方程整理得(3m²＋4)y²－48my＋144＝0.               (5分)

△＝576(m²－4),   y_A＋y_B＝,    y_Ay_B＝.

則

,

而2my_Ay_B－6(y_A＋y_B)＝2m·－6·＝0，        (7分)

∴k_AF＋k_BF＝0，從而∠AFM＝∠BFN.

綜合可知：對于任意的割線PAB，恒有∠AFM＝∠BFN.         (8分)

②方法一：

S_△ABF＝S_△PBF－S_△PAF          (10分)

即S_△ABF＝，    (12分)

當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝±時（此時適合于△＞0的條件）取到等號。

∴△ABF面積的最大值是3.                              (13分)

方法二：

點F到直線AB的距離                  (10分)

，                     (12分)

當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝±時取等號。        (13分)

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．