Question

某籃球職業(yè)聯(lián)賽的總決賽在甲隊(duì)與乙隊(duì)間角逐，采用五局三勝制，即若一隊(duì)先勝三場，則此隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束，因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，每場比賽獲勝的可能性相等，據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，第一場比賽組織者可獲門票收入30萬元，以后每場比賽門票收入都比上一場增加10萬元，
問：（1）組織者在此次總決賽中獲得門票收入不少于180萬元的概率是多少？
（2）用ξ表示組織者在此次總決賽中的門票收入，求ξ的數(shù)學(xué)期望？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知每場比賽的門票收入構(gòu)成等差數(shù)列{a_n}，根據(jù)所給的條件寫出數(shù)列的和，使得數(shù)列的和大于或等于180，解出n的值，分類討論，得到組織者在此次總決賽中獲得門票收入不少于180萬元的概率．
（2）由題意知ξ表示組織者在此次總決賽中的門票收入，可能取值是120、180、250，當(dāng)取值是120時(shí)，表示比賽要打三場，采用五局三勝制，即若一隊(duì)先勝三場，根據(jù)實(shí)際意義得到結(jié)果．
解答：解：（1）由題意知每場比賽的門票收入構(gòu)成等差數(shù)列{a_n}，
其中a₁=30，d=10，
∴S_n=5n²+25n
令S_n≥180，即5n²+25n≥180，
解得n≥4或n≤-9（舍）
∴n=4或5
若n=4，則需打四場比賽，某隊(duì)必須第四場勝，且前三場中勝兩場，
若n=5，則需打五場比賽，某隊(duì)必須第五場勝，且前四場中勝兩場，
∴P=2+2=
即組織者在此次總決賽中獲得門票收入不少于180萬元的概率是．
（2）由題意知ξ表示組織者在此次總決賽中的門票收入，可能取值是120、180、250，
P（ξ=120）=，
P（ξ=180）=，
P（ξ=250）=，，
∴Eξ=120×+180×+250×=191.25
點(diǎn)評(píng)：解決離散型隨機(jī)變量分布列問題時(shí)，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，一般出現(xiàn)在前三個(gè)題目上，應(yīng)是必得分題．