Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；（3）當x∈[-

π

3

，  

π

6

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，
（1）直接利用周期公式求出函數(shù)f （x）的最小正周期；
（2）通過正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求出函數(shù)f （x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）先利用x∈[-

π

3

，  

π

6

]，得到-

π

3

≤2x+

π

3

≤

2π

3

；再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可得到答案．

解答：解：f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

=

3

(2cos2x-1)+sin2x=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)（5分）
（1）f（x）的最小正周期T=π（7分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

   解得  kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴f（x）的遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z（10分）
（3）∵-

π

3

≤x≤

π

6

∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

2π

3

∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1
∴-

3

≤2sin(2x+

π

3

)≤2
∴f（x）的值域為[-

3

，  2]（13分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，最值、單調(diào)性、周期，主要考查基本知識的靈活應(yīng)用，基礎(chǔ)知識的掌握的熟練程度，決定解題的好壞和快慢．