Question

在△ABC中，D為邊BC上的一點，BD=16，sinB=

5

13

，cos∠ADC=

4

5

，求AD．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，先由sinB及cos∠ADC的值，且兩角都為三角形的內角，利用同角三角函數(shù)間的基本關系分別求出cosB及sin∠ADC的值，由三角形的外角性質得到∠BAD=∠ADC-∠B，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡sin（∠ADC-∠B），把各自的值代入求出sin（∠ADC-∠B）的值，即為sin∠BAD的值，再由sinB及BD的值，利用正弦定理即可求出AD的值．

解答：
解：∵sinB=

5

13

，cos∠ADC=

4

5

，且∠B和∠ADC都為三角形的內角，
∴cosB=

1-sin2B

=

12

13

，sin∠ADC=

1-cos2∠ADC

=

3

5

，
∴sin∠BAD=sin（∠ADC-∠B）
=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB
=

3

5

•

12

13

-

4

5

•

5

13

=

16

65

，（6分）
在△ABD中，根據(jù)正弦定理得：

BD

sin∠BAD

=

AD

sinB

，
所以AD=

BDsinB

sin∠BAD

=

16• 5 13

16 65

=25．（12分）

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，同角三角函數(shù)間的基本關系以及正弦定理，屬于三角函數(shù)與解三角形的綜合性題，是近幾年高考的熱點，在高考試題中頻繁出現(xiàn)．這類題型難度比較低，解決此類問題，要根據(jù)已知條件，靈活運用正弦定理或余弦定理，求邊角或將邊角互化．