Question

設(shè)函數(shù)f（α）=

(1+cos2α)cos( 3 2 π-α)

2cos(π+α)

+cos2α．
（1）設(shè)∠A是△ABC的內(nèi)角，且為鈍角，求f（A）的最小值；
（2）設(shè)∠A，∠B是銳角△ABC的內(nèi)角，且∠A+∠B=

7π

12

，f（A）=1，BC=2，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角的大小和AC邊的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式整理，進(jìn)而根據(jù)A的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值．
（2）利用f（A）=1求得A，進(jìn)而利用∠A+∠B的值求得B，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和求得C，最后利用正弦定理求得AC．

解答：解：（1）f（A）=

(cos2A+1)cos( 3 2 π-A)

2cos(π+A)

+cos2A=

cos2AsinA

cosA

+cos2A=

1

2

sin2A+cos2A=

1

2

(sin2A+cos2A+1)=

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

．
∵角A為鈍角，
∴

π

2

＜A＜π，

5π

4

＜2A+

π

4

＜

9π

4

．
∴當(dāng)2A+

π

4

=

3π

2

時(shí)，f（A）取值最小值，其最小值為

1- 2

2

．

（2）由f（A）=1得

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

=1，∴sin(2A+

π

4

)=

2

2

．
∵A為銳角，∴

π

4

＜2A+

π

4

＜

5

4

π，
∴2A+

π

4

=

3π

4

，A=

π

4

．
又∵A+B=

7π

12

，∴B=

π

3

．∴C=

5π

12

．
在△ABC中，由正弦定理得：

BC

sinA

=

AC

sinB

．∴AC=

BCsinB

sinA

=

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的最值問(wèn)題，正弦定理的應(yīng)用．考查了綜合分析問(wèn)題的能力和基本的運(yùn)算能力．