Question

如圖，已知圓心為O，半徑為1的圓與直線l相切于點A，一動點P自切點A沿直線l向右移動時，取弧AC的長為

2

3

AP，直線PC與直線AO交于點M．又知當AP=

3π

4

時，點P的速度為v，求這時點M的速度．

Answer 1

分析：設(shè)AP的長為x，AM的長為y，用x表示y，并用復(fù)合函數(shù)求導法則對時間t進行求導．

解答：解：如圖，作CD⊥AM，并設(shè)AP=x，AM=y，∠COA=θ，
由題意弧AC的長為

2

3

x，半徑OC=1，可知θ=

2

3

x，考慮θ∈（0，π）．
∵△APM∽△DCM，∴

AM

AP

=

DM

DC

．
∵DM=y-（1-cos

2

3

x），DC=sin

2

3

x，∴

y

x

=

y-(1-cos 2 3 x)

sin 2 3 x

∴y=

x(1-cos 2 3 x)

x-sin 2 3 x

．
上式兩邊對時間t進行求導，則y′_t=y′_x•x′_t．
∴y′_t=[

(x-sin 2 3 x)(1-cos 2 3 x+ 2 3 xsin 2 3 x)-x(1-cos 2 3 x)(1- 2 3 cos 2 3 x)

(x-sin 2 3 x)2

]x′t
當x=

3

4

π時，x′_t=v，代入上式得點M的速度y′t=

2(3π2-4π-8)

(3π-4)2

v．

點評：本題是難度較大題目，考查了弦長、弧度、相似、特別是復(fù)合函數(shù)的導數(shù)，以及導數(shù)的幾何意義；
同時也考查了邏輯思維能力和計算能力．