Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)x＞0，y＞0，z＞0，求證：
（Ⅰ）x³+y³≥x²y+xy²；
（Ⅱ）x³+y³+z³≥x²•

yz

+y²•

xz

+z²•

xy

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作差，因式分解，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）x³+y³≥x²y+xy²；同理z³+y³≥z²y+zy²；x³+z³≥x²z+xz²，三式相加，利用基本不等式，即可得解．

解答：證明：（Ⅰ）x³+y³-x²y-xy²=（x-y）（x²-y²）=（x-y）²（x+y）…（2分）
∵x＞0，y＞0，（x-y）²≥0，…（4分）
∴x³+y³≥x²y+xy²；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）x³+y³≥x²y+xy²；同理z³+y³≥z²y+zy²；x³+z³≥x²z+xz²，…（6分）
∴2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（z+x）+z²（x+y）≥2（x²•

yz

+y²•

xz

+z²•

xy

）．
∴x³+y³+z³≥x²•

yz

+y²•

xz

+z²•

xy

． …（10分）

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，考查作差比較法，考查基本不等式的運(yùn)用，選擇正確的方法是關(guān)鍵．