Question

已知函數(shù)f(x)=-ln(x+m).

(Ι)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.

 

Answer 1

【答案】

(Ι) 在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)（Ⅱ）見解析

【解析】(Ι)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081712442771793204/SYS201308171245418441442180_DA.files/image004.png">, x=0是f(x)的極值點(diǎn)，所以,解得，

所以函數(shù)f(x)=-ln(x+1)，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081712442771793204/SYS201308171245418441442180_DA.files/image008.png">，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081712442771793204/SYS201308171245418441442180_DA.files/image009.png">=，

設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081712442771793204/SYS201308171245418441442180_DA.files/image014.png">，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，，所以

在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù).

（Ⅱ）當(dāng)m≤2，時(shí)，，故只需證明當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，

又故在有唯一實(shí)根，且，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值，

由得：，即，

故=，

綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，.

本題第（Ⅰ）問，由極值點(diǎn)得出,在x=0處的導(dǎo)數(shù)等于0,求出m值;對單調(diào)性,而判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號，從而需構(gòu)造函數(shù)，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，來得出的正負(fù)，從而求得結(jié)果; 對第（Ⅱ）問,要證明,只需要證明即可.對第(Ι)問,函數(shù)單調(diào)性的討論,一部分想不到構(gòu)造函數(shù);對第（Ⅱ）問,證明不等式,找不到思路.

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、證明不等式等知識，綜合性較強(qiáng)，考查函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想，考查同學(xué)們分析問題、解決問題的能力，熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識以及基本題型是解答好本類題目的關(guān)鍵.