Question

已知函數(shù),

(1) 設(shè)（其中是的導(dǎo)函數(shù)）,求的最大值；

(2) 證明: 當(dāng)時，求證：  ；

(3) 設(shè),當(dāng)時,不等式恒成立,求的最大值

 

Answer 1

【答案】

(1),

所以 ．

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因此，當(dāng)時，取得最大值；

（2）當(dāng)時，．

由（1）知：當(dāng)時，，即．

因此，有．

（3）不等式化為

所以對任意恒成立．

令，則，

令，

則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

因為，

所以方程在上存在唯一實根，且滿足．

當(dāng)，即，當(dāng)，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以．

所以．

故整數(shù)的最大值是．

【解析】略