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        1. 已知函數(shù)f(x)=ex-ax(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
          (1)若f(x)≥1在x∈R上恒成立,求實(shí)數(shù)a的值;
          (2)若n∈N*,證明:(
          1
          n
          )n+(
          2
          n
          )n+…+(
          n-1
          n
          )n+(
          n
          n
          )n
          e
          e-1
          分析:(1)若f(x)≥1在x∈R上恒成立,即f(x)的最小值大于等于1,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題.利用導(dǎo)數(shù)求解.
          (2)函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題中,不等式的證明可考慮利用前面得到的函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行.
          解答:(本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、最值、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí),考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、以及創(chuàng)新意識(shí))
          (1)解:∵f(x)=ex-x,∴f'(x)=ex-1.令f'(x)=0,得x=0.
          ∴當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0.
          ∴函數(shù)f(x)=ex-x在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.
          ∴當(dāng)x=0時(shí),f(x)有最小值1
          (2)證明:由(1)知,對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有ex-x≥1,即1+x≤ex
          x=-
          k
          n
          (n∈N*,k=1,2,,n-1),則0<1-
          k
          n
          e-
          k
          n
          ,
          (1-
          k
          n
          )n≤(e
          k
          n
          )n=e-k(k=1,2,,n-1)

          (
          n-k
          n
          )ne-k(k=1,2,,n-1)
          .∵(
          n
          n
          )n=1

          (
          1
          n
          )n+(
          2
          n
          )n++(
          n-1
          n
          )n+(
          n
          n
          )ne-(n-1)+e-(n-2)++e-2+e-1+1

          e-(n-1)+e-(n-2)++e-2+e-1+1=
          1-e-n
          1-e-1
          1
          1-e-1
          =
          e
          e-1
          ,
          (
          1
          n
          )n+(
          2
          n
          )n++(
          n-1
          n
          )n+(
          n
          n
          )n
          e
          e-1
          點(diǎn)評(píng):本題考查不等式恒成立問(wèn)題、函數(shù)求最值、不等式的證明問(wèn)題,以及化歸轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想,綜合性強(qiáng),難度較大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          已知函數(shù)f(x)=e-x(cosx+sinx),將滿(mǎn)足f′(x)=0的所有正數(shù)x從小到大排成數(shù)列{xn}.求證:數(shù)列{f(xn)}為等比數(shù)列.

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          (2013•西城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=e|x|+|x|.若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( 。

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          (2012•菏澤一模)已知函數(shù)f(x)=e|lnx|-|x-
          1
          x
          |,則函數(shù)y=f(x+1)的大致圖象為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=e-xsinx(其中e=2.718…).
          (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅱ)求f(x)在[-π,+∞)上的最大值與最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=e-x(x2+x+1).
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
          (Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最值.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案