Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中點(diǎn)，求異面直線AE和PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：利用三角形的中線平行于底邊，作出異面直線所成的角，然后通過證明符合定義，在三角形中求解即可．

解答：解：取BC的中點(diǎn)F，連接EF，∵E、F分別是PC、BC的中點(diǎn)，∴EF∥PB
∴∠AEF為異面直線AE、PB所成的角．
∵，∠BAC=60°，AB=AC=2，∴△ABC為正△，AF=

3

；
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB
PB=2

2

，EF=

2

；
在Rt△PAC中，PA=AC=2，E是PC的中點(diǎn)，∴AE=

2

；
在△AEF中，cos∠AEF=

2+2-3

2× 2 × 2

=

1

4

異面直線AE和PB所成角的余弦值是：

1

4

點(diǎn)評：本題考查異面直線所成的角．一般的求法是：1、作角（連線或作平行線）；2、證角（證符合定義）；3、求角．