Question

已知兩定點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A(-

3

3

，0)，B(

2 3

3

，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件∠PBA=2∠PAB，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．

Answer 1

設(shè)P（x，y），∠PAB=α，則∠PBA=2α，它們是直線PA、PB的傾角還是傾角的補(bǔ)角，與點(diǎn)P在x軸的上方還是下方有關(guān)；以下討論：
①若點(diǎn)P在x軸的上方，α∈（0，

π

2

），y＞0，
此時(shí)，直線PA的傾角為α，PB的傾角為π-2α，
∴tanα=k_PA=

y

x+ 3 3

，tan（π-2α）=

y

x- 2 3 3

，（2α≠90⁰）
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-

y

x+ 3 3

=

2× y x+ 3 3

1-( y x+ 3 3 )2

，得：3x²-y²=1，
∵|PA|≥|PB|，∴x≥

3

3

．
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，y＜0，同理可得點(diǎn)M的軌跡方程為3x²-y²=3（x≥

3

3

），
③當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，也滿足2∠PAB=∠PBA，此時(shí)y=0，(-

3

3

＜x＜

2 3

3

)．
綜上所求點(diǎn)的軌跡方程為3x2-y2=1   (x≥

3

3

)，y=0    (-

3

3

＜x＜

2 3

3

)．