Question

在數(shù)列{a_n}中，S_n是其前n項(xiàng)和，已知a₁=1，a₂=3，且當(dāng)n≥2時(shí)，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

．
（I）求證：數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；
（II）記bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使等式Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

成立的n和整數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)n≥2時(shí)，由已知利用遞推公式可得

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

=

1

Sn-Sn-1

-

1

Sn+1-Sn

整理可得，S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2），從而可證
（II）由（I）知，數(shù)列S_nS_n=4^n-1進(jìn)而可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，且a₁=S₁=1
代入可求，bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

=

9×3×4n-2

(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)

=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

又b1=

9a1

(a1+3)(a2+3)

=

3

8

容易求得T_n=b₁+b₂+…+b_n=

7

8

-

1

4n-1+1

，代入所求的式子整理可求 n，λ

解答：解：（I）當(dāng)n≥2時(shí)，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

=

1

Sn-Sn-1

-

1

Sn+1-Sn

整理可得，S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）
由S₁=1≠0，S₂=4≠0可知對一切正整數(shù)n都有S_n≠0
數(shù)列S_n是等比數(shù)列
（II）由（I）知數(shù)列S_n是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，S_n=4^n-1
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，且a₁=S₁=1
故當(dāng)n≥2時(shí)，bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

=

9×3×4n-2

(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)

=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

又b1=

9a1

(a1+3)(a2+3)

=

3

8

當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=b₁+b₂+…+b_n=

3

8

+(

1

40+1

-

1

41+1

)+…+ (

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

)
=

7

8

-

1

4n-1+1

若n=1，代入可得λ=

5

2

不是整數(shù)，故舍去
若n≥2時(shí)，Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

⇒

7

8

- 

1

1+4n-1

+

3λ

5×3×4n-1

=

7

8

λ=5-

5

4n-1+1

因?yàn)棣耸钦麛?shù)
4^n-1+1是5的約數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)符合條件
此時(shí)，λ=4，n=2

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的證明，利用遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，屬于綜合試題．