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        1. 已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=
          x
          +x
          ,其中e是自然對數(shù)的底,e=2.71828….
          (1)證明:函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點;
          (2)求方程f(x)=g(x)根的個數(shù),并說明理由;
          (3)若數(shù)列{an}(n∈N*)滿足a1=a(a>0)(a為常數(shù)),f(an+1)=g(an),證明:存在常數(shù)M,使得對于任意n∈N*,都有an≤M.
          (1)證明:由h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-
          x
          -x
          ,得:
          h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2-
          2
          >0,
          所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)上有零點.
          (2)由(1)得:h(x)=ex-1-
          x
          -x
          ,
          g(x)=
          x
          +x
          知,x∈[0,+∞),而h(0)=0,則x=0為h(x)的一個零點,且h(x)在(1,2)內(nèi)有零點,
          因此h(x)至少有兩個零點.
          所以h′(x)=ex-
          1
          2
          x-
          1
          2
          -1,記φ(x)=ex-
          1
          2
          x-
          1
          2
          -1,則φ′(x)=ex+
          1
          4
          x-
          3
          2

          當x∈(0,+∞)時,φ'(x)>0,因此φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則φ(x)在(0,+∞)內(nèi)至多只有一個零點.h(x)有且只有兩個零點.
          所以,方程f(x)=g(x)根的個數(shù)為2.
          (3)記h(x)的正零點為x0,即ex0-1=x0+
          x0

          (1)當a<x0時,由a1=a,即a1<x0.而a23=a1+
          a1
          x0+
          x0
          =ex0-1,因此a2<x0,由此猜測:an<x0.下面用數(shù)學歸納法證明:
          ①當n=1時,a1<x0顯然成立;
          ②假設當n=k(k≥1)時,有ak<x0成立,則當n=k+1時,由ak+13=ak+
          ak
          x0+
          x0
          =ex0-1知,ak+1<x0,因此,當n=k+1時,ak+1<x0成立.
          故對任意的n∈N*,an<x0成立.
          (2)當a≥x0時,由(1)知,h(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.則h(a)≥h(x0)=0,即a3≥a+
          a
          .從而a23=a1+
          a1
          =a+
          a
          a3
          ,即a2≤a,由此猜測:an≤a.下面用數(shù)學歸納法證明:
          ①當n=1時,a1≤a顯然成立;
          ②假設當n=k(k≥1)時,有ak≤a成立,則當n=k+1時,由ak+13=ak+
          ak
          ≤a+
          a
          a3
          知,ak+1≤a,因此,當n=k+1時,ak+1≤a成立.
          故對任意的n∈N*,an≤a成立.
          綜上所述,存在常數(shù)M=max{x0,a},使得對于任意的n∈N*,都有an≤M.
          練習冊系列答案
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