Question

三個(gè)半徑為R的球互相外切，且每個(gè)球都同時(shí)與另兩個(gè)半徑為r的球外切．如果這兩個(gè)半徑為r的球也互相外切，則R與r的關(guān)系是（　�。�

• A、R=r
• B、R=2r
• C、R=3r
• D、R=6r

Answer 1

分析：先設(shè)O₁，O₂，O₃分別是半徑為R的三個(gè)球的球心，C₁，C₂分別是半徑為r的兩個(gè)球的球心，將它們構(gòu)成立體圖形（主體結(jié)構(gòu)是三棱錐），再利用圓球與球相切時(shí)半徑之間的關(guān)系建立方程式即可求得R與r的關(guān)系．

解答：解：設(shè)O₁，O₂，O₃分別是半徑為R的三個(gè)球的球心，C₁，C₂分別是半徑為r的兩個(gè)球的球心，則它們構(gòu)成立體圖形（如圖），H是△O₁O₂O₃的中心．因?yàn)椤鱋₁O₂O₃是邊長(zhǎng)為2R的正三角形，O1H=

2 3

3

R．又△C₁O₁H是以∠C₁HO₁為直角的直角三角形，故C₁O₁²=C₁H²+O₁H²，即(R+r)2=r2+(

2 3

3

R)2，
解得R=6r．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了球的性質(zhì)、三棱錐的幾何特征，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，以及空間想象力和計(jì)算能力，屬于中檔題．