Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；

（2）用表示中的最大值，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

（1）求導(dǎo)后求出、的解集后即可得解；

（2）轉(zhuǎn)化條件得在上恒成立，即在上恒成立，令，求導(dǎo)后求得的最大值即可得解；

（3）利用導(dǎo)數(shù)證明，進而可證，即可得證.

（1）因為，

所以，

令得，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）由（1）知，

當(dāng)時，恒成立，故恒成立；

當(dāng)時，，又因為恒成立，

所以在上恒成立，

所以，即在上恒成立，

令，則，

由，

令得，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

所以，即，

綜上可得.

（3）證明：設(shè)，則，

所以在上單調(diào)遞增，所以，即，

所以

，

所以.