Question

【題目】在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC．

（1）若D是BC的中點(diǎn)，求證：AD⊥CC1；

（2）過(guò)側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線(xiàn)BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C．

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析 (2)詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）由AB=AC，且D是BC的中點(diǎn)得到AD⊥BC，再由側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得到AD⊥側(cè)面BB1C1C．從而證得答案； （2）由AM=MA1，可想到延長(zhǎng)B1A1與BM交于N，連結(jié)C1N，由中位線(xiàn)知識(shí)結(jié)合已知得到A1C1=A1N=A1B1，∴C1N⊥C1B1，然后由面面垂直的性質(zhì)及判定得答案．

（1）如圖，

∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，

∵底面ABC⊥平面BB1C1C，

由兩面垂直的性質(zhì)，∴AD⊥側(cè)面BB1C1C．

又CC1面BB1C1C，∴AD⊥CC1；

（2）延長(zhǎng)B1A1與BM的延長(zhǎng)線(xiàn)交于N，連結(jié)C1N，

∵AM=MA1，且MA1∥BB1，∴NA1=A1B1，

∵AB=AC，∴A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1，

∴A1為△B1C1N外接圓的圓心，

∴C1N⊥C1B1，

∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C，

由面面垂直的性質(zhì)，∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C，

∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C，∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C．