Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，AA₁=，M為棱A₁A上的點，若A₁C⊥平面MB₁D₁．
（Ⅰ）確定點M的位置；
（Ⅱ）求二面角D₁-MB₁-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：方法一（Ⅰ）連結A₁D，證明△A₁MD₁∽△D₁A₁D，通過計算確定點M的位置；
（Ⅱ）引A₁E⊥B₁M于E，連結D₁E，則A₁E是D₁E在平面BA₁上的射影，說明∠A₁ED₁是二面角D₁-MB₁-B的平面角的補角，通過解三角形求二面角D₁-MB₁-B的大�。�
方法二（Ⅰ）通過建立空間直角坐標系，利用向量的數量積求解點M的位置；
（Ⅱ）求出兩個平面的法向量，利用空間向量的數量積求二面角D₁-MB₁-B的大�。�
解答：解：（方法一）
（Ⅰ）連結A₁D，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側面ADD₁A₁為矩形，
∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴A₁C⊥D₁M，
因此A₁C在平面AD₁上的射影A₁D⊥D₁M，
∴△A₁MD₁∽△D₁A₁D，
∴A₁M=，因此M是A₁A的中點．…（6分）
（Ⅱ）引A₁E⊥B₁M于E，連結D₁E，則A₁E是
D₁E在平面BA₁上的射影，由三垂線定理可
知D₁E⊥B₁M，
∴∠A₁ED₁是二面角D₁-MB₁-B的平面角的補角，
由（Ⅰ）知，A₁M=，則，
∴，
∴二面角D₁-MB₁-B等于．…（12分）
（方法二）
如圖，在正四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以A為原點，直線AB為x軸，直線AD為y軸建立空間直角坐標系A-xyz，AB=2，AA₁=2，則
C（2，2，0），D（0，2，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），D₁（0，2，2），
設M（0，0，Z），則=（0，2，2），=（2，2，），…（3分）
（Ⅰ）∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴A₁C⊥D₁M，∴，
∴，
∴，∴，
因此M是A₁A的中點．…（6分）
（Ⅱ）∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴是平面MB₁D₁的一個法向量．
又平面A₁B的一個法向量為，…（8分）
∴cos＜＞．
∵二面角D₁-MB₁-B是鈍二面角．…（11分）
∴二面角D₁-MB₁-B等于．…（12分）
點評：本題考查空間想象能力以及計算能力，立體幾何問題的解法有兩種思路，一是幾何法，一是向量法，注意解題時合理選擇方法，做到簡便快捷．