Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為P（0，1），過C的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1．若有一菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C上，該菱形對(duì)角線BD所在直線的斜率為-1．
（1）求橢圓∑的方程；
（2）當(dāng)直線BD過點(diǎn)（1，0）時(shí)，求直線AC的方程；
（3）當(dāng)∠ABC=時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．

Answer 1

解：（1）依題意，b=1，
解，得|y|=，
所以，a=2，
橢圓E的方程為．
（2）直線BD：y=-1×（x-1）=-x+1，
設(shè)AC：y=x+b，
由方程組得，
當(dāng)時(shí)，
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）的中點(diǎn)坐標(biāo)為=-，，
ABCD是菱形，所以AC的中點(diǎn)在BD上，所以
解得，滿足△=5-b²＞0，所以AC的方程為y=x-．
（3）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積，
由（2）可得AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₂）²=2，
AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=2（x₂-x₁）²=2（x₂+x₁）²-8x₁x₂=2×=，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73059.png' />，所以當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值，最大值為．
分析：（1）依題意，b=1，解，得|y|=，所以，由此能求出橢圓E的方程．
（2）直線BD：y=-1×（x-1）=-x+1，設(shè)AC：y=x+b，由方程組得，再由根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和菱形的性質(zhì)能推導(dǎo)出AC的方程．
（3）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積，由AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=2（x₂-x₁）²=2（x₂+x₁）²-8x₁x₂=，能推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要靈活運(yùn)用根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和菱形的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的性質(zhì)注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．