Question

已知函數(shù)f(x)=

ax2+1

x

-lnx，a∈R．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：對于任意正整數(shù)n，

n+2

n(n+1)

＞ln

n+1

n

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)f(x)=

2x2+1

x

-lnx，其中x＞0，然后對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，在函數(shù)的定義域下，使導(dǎo)數(shù)大于零的區(qū)間，就是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，使導(dǎo)數(shù)小于零的區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，解相應(yīng)的不等式即可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上恒大于或等于零，變形為f′(x)=a-

1

x2

-

1

x

≥0區(qū)間[1，+∞）上恒成立，利用變量分離，得到a≥

1

x2

+

1

x

在x∈[1，+∞）上恒成立．以t=

1

x

為自變量，研究右邊函數(shù)的最大值，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）；
（3）在（1）的結(jié)論下，可得在[1，+∞）上，f（x）_min=f（1）=3，所以x＞1時(shí)，f（x）＞3．再取自變量x=

n+1

n

，n∈N*，是一個(gè)屬于區(qū)間[1，+∞）的變量，故有f(

n+1

n

)＞3，最后將這個(gè)不等式加以變形，化簡整理可證得原不等式正確．

解答：解：（1）f(x)=

2x2+1

x

-lnx，x＞0，f′(x)=

2x2-x-1

x2

，
令f'（x）＞0，因?yàn)閤＞0，所以x＞1，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
令f'（x）＜0，因?yàn)閤＞0，所以0＜x＜1，所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）．
（2）f′(x)=

ax2-x-1

x2

．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
所以f′(x)=

ax2-x-1

x2

≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x2

+

1

x

在x∈[1，+∞）上恒成立．
令

1

x

=t，0＜t≤1，g（t）=t²+t，0＜t≤1，
圖象的對稱軸為t=-

1

2

，所以t=1時(shí)，g（t）_max=2．
所以a≥2，即當(dāng)函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．
（3）由（1）知f(x)=

2x2+1

x

-lnx在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以在[1，+∞）上，f（x）_min=f（1）=3，
所以x＞1時(shí)，f（x）＞3．
令x=

n+1

n

，n∈N*，則x＞1，
所以

2•( n+1 n )2+1

n+1 n

-ln

n+1

n

＞3，
即

3n2+4n+2

n(n+1)

-3＞ln

n+1

n

，
即

n+2

n(n+1)

＞ln

n+1

n

．
所以結(jié)論得證．

點(diǎn)評：本題以一個(gè)復(fù)合型函數(shù)為例，通過研究它的單調(diào)性與最值，著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的最值和不等式恒成立的處理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．