Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+k滿足?x∈R，f（x）≥f（0）且y=f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線垂直于直線x+2y+1=0．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）=2x-|f（x）-f（1）|有實數(shù)解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）=ax²+bx+k滿足f（x）≥f（0），可得a＞0且b=0，根據(jù)f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線垂直于x+2y+1=0，可得f′（1）=2，從而可求a，b的值；
（2）f（x）=2x-|f（x）-f（1）|有實數(shù)解轉化為x²+k=2x-|x²-1|，即k=2x-|x²-1|-x²有實數(shù)解，進一步可等價于求函數(shù)k=

2x-2x2+1，x≤-1或x≥1 2x-1，-1＜x＜1

的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+k滿足f（x）≥f（0），∴a＞0且b=0，
又f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線垂直于x+2y+1=0，
∴f′（1）=2，即2a+b=2，
∴a=1，∴f（x）=x²+k；
（2）f（x）=2x-|f（x）-f（1）|有實數(shù)解轉化為x²+k=2x-|x²-1|，
即k=2x-|x²-1|-x²有實數(shù)解．
當x²-1≥0，即x≥1或x≤-1時，|x²-1|=x²-1，
當x²-1＜0，0即-1＜x＜1時，|x²-1|=-x²+1，
∴原問題等價于求函數(shù)k=

2x-2x2+1，x≤-1或x≥1 2x-1，-1＜x＜1

的值域．
x≥1或x≤-1時，2x-2x²+1=-2(x-

1

2

)2+

3

2

≤1；
-1＜x＜1時，-3＜2x-1＜1，
∴k≤1．
∴方程f（x）=2x-|f（x）-f（1）|有實數(shù)解時，k的取值范圍是k≤1．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查二次函數(shù)的性質，考查函數(shù)的值域，考查學生分析轉化問題的能力，將問題等價于求函數(shù)k=

2x-2x2+1，x≤-1或x≥1 2x-1，-1＜x＜1

的值域是關鍵．