Question

在正四面體S-ABC中，E為SA的中點，F(xiàn)為△ABC的中心，則異面直線EF與AB所成的角是

60°．

．

Answer 1

分析：根據(jù)正四面體S-ABC的特點求出其高以及底邊的高，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，求出

FE

，

AB

的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出＜

FE

，

AB

＞，根據(jù)異面直線所成的角與向量角的關(guān)系求出答案．

解答：解：以SF為z軸，以FB為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四面體S-ABC的棱長為1，則
△ABC的高為

3

2

，
因為F為△ABC的中心，
所以根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，F(xiàn)到AC的距離為

1

3

×

3

2

=

3

6

，
所以A（-

3

6

，-

1

2

，0)，B（

3

3

，0，0），F(xiàn)（0，0，0）
在三角形SAF中，
SA=1，AF=

2

3

×

3

2

=

3

3

，
所以SF=

SA2-AF2

=

1- 1 3

=

6

3

，
所以S(0，0，

6

3

)，E（-

3

12

，-

1

4

，

6

6

），
所以

FE

=(-

3

12

，-

1

4

，

6

6

)，

AB

=(

3

2

，

1

2

，0)，
所以cos＜

FE

，

AB

＞=

FE • AB

| FE || AB |

=

- 1 4

1 2 ×1

=-

1

2

所以＜

FE

，

AB

＞= 120°，
所以異面直線EF與AB所成的角是60°．
故答案為60°．

點評：本題考查通過坐標(biāo)系將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決，考查利用向量的數(shù)量積求異面直線所成的角，要注意異面直線所成角的范圍．