Question

【題目】已知曲線y＝x3＋x－2在點(diǎn)P0處的切線l1平行于直線4x－y－1＝0，且點(diǎn)P0在第三象限．

(1)求P0的坐標(biāo)；(2)若直線l⊥l1，且l也過(guò)切點(diǎn)P0，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）(－1，－4)；（2）x＋4y＋17＝0.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)曲線方程求出導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)橐阎�直線4x-y-1=0的斜率為4，根據(jù)切線與已知直線平行得到斜率相等都為4，所以令導(dǎo)函數(shù)等于4得到關(guān)于x的方程，求出方程的解，即為切點(diǎn)P0的橫坐標(biāo)，代入曲線方程即可求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又因?yàn)榍悬c(diǎn)在第3象限，進(jìn)而寫(xiě)出滿足題意的切點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由直線l1的斜率為4，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，得到直線l的斜率為，又根據(jù)（1）中求得的切點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出直線l的方程即可．

試題解析：

(1)證明：由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.

由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－4.

又∵點(diǎn)P0在第三象限，∴切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－1，－4)．

(2)∵直線l⊥l1，l1的斜率為4，∴直線l的斜率.

∵l過(guò)切點(diǎn)P0，點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－1，－4)，

∴直線l的方程為y＋4＝－ (x＋1)，即x＋4y＋17＝0.