Question

如圖，已知P是單位圓（圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)）上一點(diǎn)，∠x(chóng)OP=

π

3

，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．
（1）比較|OM|與

π

6

的大小，并說(shuō)明理由；
（2）∠AOB的兩邊交矩形OMPN的邊于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=

π

4

，求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）記C（0，1），可求

PC

，|OM|，由|PC|＜

PC

，可得結(jié)論；
（2）設(shè)∠AOx=α，α∈[0，

π

4

]，P(

1

2

，

3

2

)，記f(α)=

OA

•

OB

，分α∈[0，

π

12

]，α∈(

π

12

，

π

4

]兩種情況進(jìn)行討論，表示出f（α），根據(jù)其單調(diào)性及端點(diǎn)處函數(shù)值可求得范圍；

解答：解：（1）記C（0，1），連接PC，則

PC

=

π

2

-

π

3

=

π

6

，
依題意|OM|=|PN|=cos60°＜|PC|＜

PC

，
∴|OM|＜

π

6

；

（2）設(shè)∠AOx=α，α∈[0，

π

4

]，P(

1

2

，

3

2

)，記f(α)=

OA

•

OB

，
①當(dāng)α∈[0，

π

12

]時(shí)，A(

1

2

，

1

2

tanα)，B(

1

2

，

1

2

tan(α+

π

4

))，
∴f(α)=

OA

•

OB

=

1

4

+

1

4

tanα•tan(α+

π

4

)
=

1

4

(1+tanα

1+tanα

1-tanα

)=

1

4

•

1+tan2α

1-tanα

=

1

4

•

1

cosα(cosα-sinα)

=

1

4

•

1

cos2α-cosαsinα

=

1

2

•

1

1+cos2α-sin2α

=

1

2(1+ 2 cos(2α+ π 4 )

；

②當(dāng)α∈(

π

12

，

π

4

]時(shí)，A(

1

2

，

1

2

tanα)，B(

3

2tan(α+ π 4 )

，

3

2

)，
∴f(α)=

OA

•

OB

=

3

4

(

1

tan(α+ π 4 )

+tanα)
=

3

4

(

1-tanα

1+tanα

+tanα)=

3

4

•

1+tan2α

1+tanα

=

3

4

•

1

cosα(cosα+sinα)

=

3

2

•

1

1+cos2α+sin2α

=

3

2

•

1

1+ 2 sin(2α+ π 4 )

；
綜上，f(α)=

1 2 • 1 1+ 2 cos(2α+ π 4 ) ，x∈[0， π 12 ] 3 2 • 1 1+ 2 sin(2α+ π 4 ) ，α∈( π 12 ， π 4 ]

，
f（α）在α∈[0，

π

12

]增函數(shù)，在α∈(

π

12

，

π

8

]是減函數(shù)，在α∈(

π

8

，

π

4

]是增函數(shù)，
∵f(0)=

1

4

，f(

π

12

)=

3 -1

2

，f(

π

8

)=

6 - 3

2

，f(

π

4

)=

3

4

，
∴f(α)=

OA

•

OB

∈[

1

4

，

3

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換、平面向量的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力．