Question

某旅游景區(qū)的觀景臺(tái)P位于高（山頂?shù)缴侥_水平面M的垂直高度PO）為2km的山峰上，山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB為等腰三角形．山坡面與山腳所在水平面M所成的二面角為α（0°＜α＜90°），且sinα＝．現(xiàn)從山腳的水平公路AB某處C₀開始修建一條盤山公路，該公路的第一段、第二段、第三段…，第n－1段依次為C₀C₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n－1C_n（如圖所示），且C₀C₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n－1C_n與AB所成的角均為β，其中0＜β＜90°，sinβ＝．試問(wèn)：

   （1）每修建盤山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盤山公路至半山腰（高度為山高的一半），在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站，索道PQ依山而建（與山坡面平行，離坡面高度忽略不計(jì)），問(wèn)盤山公路的長(zhǎng)度和索道的長(zhǎng)度各是多少？

   （2）若修建xkm盤山公路，其造價(jià)為 a萬(wàn)元．修建索道的造價(jià)為2a萬(wàn)元/km．問(wèn)修建盤山公路至多高時(shí)，再修建上山索道至觀景臺(tái)，總造價(jià)最少．

Answer 1

解：（1）在盤山公路C₀C₁上任選一點(diǎn)D，作DE⊥平面M交平面M于E，過(guò)E作EF⊥AB交AB于F，連結(jié)DF，易知DF⊥C₀F．sin∠DFE＝，

sin∠DC₀F＝．

∵DF＝C₀D，DE＝DF，∴DE＝C₀D，

所以盤山公路長(zhǎng)度是山高的10倍，索道長(zhǎng)是山高的倍，

所以每修建盤山公路1000米，垂直高度升高100米．

從山腳至半山腰，盤山公路為10km．從半山腰至山頂，索道長(zhǎng)2．5km．（6分）

   （2）設(shè)盤山公路修至山高x（0＜x＜2＝km，則盤山公路長(zhǎng)為10xkm，

索道長(zhǎng)（2－x）km．

設(shè)總造價(jià)為y萬(wàn)元，

則y＝a＋（2－x）·2a＝（10－5x）a＋10a．

令y′＝－5a＝0，則x＝1．

當(dāng)x∈（0,1）時(shí)，y′＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1,2）時(shí)，y′>0，函數(shù)y單調(diào)遞增，

∴x＝1，y有最小值，即修建盤山公路至山高1km時(shí)，總造價(jià)最小，

最小值為15a萬(wàn)元．（13分）